domingo, 31 de octubre de 2010

Publicidad delictiva

Aún tengo muy vivo el recuerdo de un anuncio publicitario de los tiempos de mi infancia, allá por los años 70. Seguramente alguno de ustedes recordará el anuncio del bolígrafo Bic, con su célebre canción de “Bic naranja, Bic cristal; dos escrituras a elegir…..” Para mí era un anuncio verdaderamente magistral. No se podía decir más de un bolígrafo en tan sólo un minuto. Una prueba tangible de que sin duda era una estupenda idea publicitaria fue la cantidad de tiempo que estuvo presente en las televisiones españolas. No diré que hoy en día la publicidad es mucho peor, pues no quiero caer en el tópico presente en las personas de generaciones anteriores que añorando tiempos pasados argumentan que en nuestros días muchas cosas van a peor. Está claro que hoy en día, con los medios de los que se dispone, la publicidad es de mucha mayor calidad visual. Otra cosa son las ideas, que pueden ser igual de buenas o igual de malas que hace 30 ó 40 años. Sin duda una gran idea con los medios actuales quedará amplificada; pero es posible que también suceda lo mismo con una idea mediocre.
  Precisamente debido al avance en los medios audiovisuales, que trajo como consecuencia anuncios de juguetes en los que éstos se movían solos como si tuviesen vida propia, se reguló la emisión de este tipo de publicidad de manera que se pusiese alguna especie de aviso en el anuncio que impidiese a los infantes hacerse una idea equivocada de lo que estaban viendo. Bueno, teniendo en cuenta que muchos niños de la audiencia no sabrían leer, el aviso era más bien para los padres. La cuestión es que la gente no adquiriese expectativas equivocadas en cuanto al funcionamiento del producto, debido al despliegue de medios mostrados en la emisión publicitaria.
  Sin embargo en nuestros días el hecho de que publicitariamente un juguete parezca tener vida propia; o bien que en el anuncio de un limpiador aparezcan cocinas con una cantidad de suciedad como nunca se ha visto, con el agravante de que nos hacen ver que dicha cocina acaba de ser limpiada con otro limpiador distinto al de la marca anunciante; o incluso el que nos presenten detergentes en los que la ropa ya sale planchada de la lavadora, no tienen la menor importancia y resultan anécdotas en comparación con otra práctica publicitaria que a mi juicio no sólo resulta engañosa sino que entra en lo delictivo. Si no me creen, reflexionen sobre los ejemplos que les pongo a continuación, los cuales aparecen cada día en nuestras televisiones y carteles publicitarios. Después juzguen ustedes mismos:

  1. El precio de un viaje en avión es de 50 euros por persona, pero al ir a pagar se dan cuenta de que en el anuncio publicitario no se incluyen gastos de aumento del precio de combustible del avión, gasto por gestión de billete, tarifa por maleta facturada, seguro obligatorio para el pasajero y demás cuestiones que aumentan en más de un 200% el precio inicial.
  2. Deciden comprar un automóvil porque  lo pueden financiar fácilmente a 5 años con cuotas de 200 euros. Lo que averiguan posteriormente es que tendrán que satisfacer 15 cuotas por año, cuando ustedes pensaban que serían 12 (una por mes). Además, después de los 5 años de cuotas tendrán que pagar una cantidad final de 12000 euros.
  3. Observan que pueden viajar a Nueva York (ida y vuelta) “desde 300 euros”. Al ir a sacar el billete les dicen que para obtener esa oferta tienen que sacar el billete con 5 meses de antelación, pasar al menos dos fines de semana en Nueva York y sólo es válido para estancias durante el mes de Febrero.
  4. Un hotel de gran lujo les ofrece habitaciones dobles al increíble precio de 50 euros la noche. Cuando se deciden a aprovechar la oferta descubren que ésta no incluye fines de semana ni festivos o vísperas de festivos. Además, están obligados a hacer un gasto en el hotel de al menos otros 50 euros por persona y día de estancia.
  5. Una compañía de seguros les ofrece increíbles coberturas. Lo que les ha hecho decantarse por ella para asegurar su automóvil es que tiene gratis la asistencia en carretera y sobre todo que les proporcionarán un coche de substitución si la avería necesita más de 24 horas para su reparación. Al querer hacer uso del seguro en un percance se percatan de que la asistencia en carretera es a partir del km 100 a contabilizar desde su lugar de empadronamiento, con lo que no incluye los trayectos cotidianos que usted hace. Además, respecto a la posibilidad de obtener un coche de substitución, las 24 horas están referidas a “horas de mano de obra de taller”.  Por supuesto no cuenta el tiempo que el coche está en espera de ser reparado. Además prácticamente ninguna avería requiere tal cantidad de tiempo neto de mano de obra.
  Obviamente, toda esta información estaba disponible escondida y a letra pequeña en el anuncio publicitario o bien había pasado a velocidad vertiginosa por la parte inferior de su televisión. Parece que con estas maniobras ya se sitúan dentro de la legalidad, aunque usted necesite mucho tiempo y un microscopio para leer las condiciones o tenga que grabar el anuncio y estudiarlo fotograma a fotograma para poder leer el pie de imagen. Cualquier día nos presentarán un producto prácticamente gratuito y con unas propiedades maravillosas. O bien un viaje alrededor del mundo, alojándonos en los mejores hoteles por un precio irrisorio. Incluso nos podrán ofrecer un estupendo coche a un precio de 3000 euros a pagar en cómodos plazos con el seguro, la gasolina y el mantenimiento gratuitos de por vida. Bastará con que en todos los casos, pongan un asterisco y un pie de anuncio que diga: “Todo lo que se ha dicho publicitariamente respecto a este asunto es completamente falso.”

jueves, 21 de octubre de 2010

Notación matemática: ¿Enmascara lo fácil o clarifica lo difícil?

Frecuentemente, al enunciar o presentar alguna propiedad en términos de notación matemática, mis alumnos ponen cara de no entender lo que quiero decirles. Cuando, tras no pocos esfuerzos, logro hacer que lo entiendan, en alguna ocasión me han comentado que la clave de su falta de entendimiento es la propia notación científica.
   Recientemente, uno de los trabajos de investigación de los que soy coautor fue criticado por un revisor, que debía decidir sobre lo apropiado del trabajo para su presentación en un congreso, argumentando que mediante la notación matemática empleada estábamos enmascarando conceptos y propiedades sencillas. Esta situación me preocupó mucho, ya que el hecho de que un colega, que se supone preparado para entender la notación científica, argumente cosas de ese estilo denotando su falta de dominio de la misma, es mucho más grave. Tras reflexionar sobre este par de sucesos he llegado a la conclusión de que en muchas ocasiones no se le da a la notación matemática la importancia que ésta merece. Cuando se expresa algo en lenguaje o notación matemática, el objetivo es que todas las personas que lean esas expresiones se formen exáctamente la misma idea; que dicha idea no posea ningún punto de ambigüedad y que coincida con la que se pretendío expresar por parte del autor. Está claro que con el lenguaje natural mediante el que nos expresamos cotidianamente no se puede conseguir ese objetivo sin construir grandes  y a veces tediosos párrafos explicativos. La notación matemática es exacta, expresa cosas de manera concisa  y es absolutamente universal. Sin embargo, cuando no se domina resulta casi ininteligible, como le pasa a cualquiera de los lenguajes: Si yo no se japonés, da igual que me expliquen en japonés la cosa más sencilla, que no la voy a entender. Esa falta de dominio es la causante de que cuando se expresa mediante notación matemática alguna idea ya conocida por la audiencia, pueda parecerle a alguno que se están explicando cosas sencillas mediante un lenguaje enrevesado. Nada más lejos de la realidad, ya que la notación matemática siempre resulta clarificadora. Déjenme que intente demostrárselo.
  Tomemos como ejemplo una propiedad que todos conocen, relacionada con elevar un número al cuadrado, es decir, multiplicarlo por sí mismo. Imaginen que les digo que si elevamos al cuadrado el número 2 el resultado es 4 (que es un número positivo). Si elevamos al cuadrado el 3, el resultado es 9 (también positivo). De hecho si elevamos al cuadrado cualquier número mayor que cero el resultado siempre es un número positivo. Además dicho cuadrado siempre existe. Así pues podemos decir que todo número mayor que cero posee la propiedad de que al elevarlo al cuadrado el resultado es un número positivo. ¿y qué  pasa con los números negativos? Pues lo que pasa es que la operación de elevarlos al cuadrado tambíen da como resultado un número positivo. Y además, de propina podemos decir que ese número positivo, resultado de elevar al cuadrado un número negativo, es el mismo número que nos salía al elevar al cuadrado el correspondiente número positivo. Llegados a este punto seguramente es conveniente poner un ejemplo clarificador: Lo que se quiere decir es que si elevamos al cuadrado por ejemplo el 4, el resultado es 16. Y al elevar al cuadrado el -4, el resultado es también 16. Si han conseguido leer hasta aquí sin perderse, seguramente habrán logrado entender lo que se ha querido expresar. Es posible que el hecho de que esta propiedad ya la conociesen les haya supuesto una gran ventaja a la hora de entenderla. Pero ¿se imaginan a alguien que no conozca la mencionada propiedad leyendo este párrafo?. ¿Ustedes creen que entendería lo que se ha querido expresar sin ningún género ni atisbo de duda?. Es posible que sí. En cualquier caso si se domina la notación matemática esta propiedad puede expresarse de manera maravillosamente escueta e inequívoca de la siguiente forma:

Para todo X>0   Existe  Y>0  tal que X2=(-X)2=Y

Ahora quédense con la que les parezca más sencilla. Para mí la elección no ofrece dudas.






miércoles, 13 de octubre de 2010

Axiomas, Teoremas y juegos de Lego

Al poco de comenzar mis estudios de la licenciatura de Matemáticas y en una de las  habituales tertulias de café en una habitación del Colegio Mayor, un amigo que estudiaba Ingeniería de Caminos me preguntó cuál era la labor fundamental de un matemático. Yo le contesté que los matemáticos demostraban Teoremas. Y mientras le respondía, soñaba con demostrar mi propio Teorema. En aquella época yo pensaba que todo Teorema, una vez demostrado, supondría un avance crucial para la humanidad. Estaba convencido de que  todos los Teoremas estaban en algún lugar, esperando que alguien los demostrase y en ese momento un estruendo de conocimiento viajaría a gran velocidad por todo el planeta. Yo, en mi inocencia, pensaba sólo en los Teoremas con mayúscula. Años más tarde, bastante antes de demostrar mi primer teorema, comprendí que la mayor parte de ellos tienen una utilidad muy local y un ámbito muy pequeño que generalmente no trasciende más allá del grupo de matemáticos que estén investigando en el tema en cuestión. Sólo algunas veces se enuncian y demuestran Teoremas de auténtico renombre y que son verdaderos iconos en una determinada Teoría. Además, la mayor parte de las veces los teoremas son demostrados por los mismos investigadores que los enuncian. Incluso es muy posible que la demostración preceda al enunciado. La razón es que los teoremas no son más que pequeñas figuras construidas dentro de una Teoría o un tema central de investigación científica y su demostración significa un paso más hacia un objetivo más ambicioso o una consecuencia un tanto marginal dentro de dicha teoría. ¡Enunciar y demostrar teoremas es como el juego del Lego!. Voy a explicárselo:

  Cuando se compra un juego de Lego, en la caja lo que se encuentran son una serie de piezas de distintas formas y tamaños. Estas piezas son indivisibles y están ahí porque sí. Bueno, digamos que nos son dadas. Además, en algunos casos también hay algunas pequeñas herramientas que no son piezas pero que ayudan a combinar esas piezas básicas. Piensen en una pequeña llave para tuercas o un pequeño destornillador. Pues bien, en matemáticas esas piezas básicas constituyen los axiomas. No hay que demostrarlos, están ahí por definición. Vienen en el lote al comprar el juego. Posteriormente, a partir de esas piezas se van construyendo piezas más grandes, habitualmente con la ayuda de las herramientas para tal efecto. De nuevo combinando estas piezas más grandes construidas a partir de las piezas básicas, se van dando forma a figuras que tienen una entidad propia. Estas figuras son los teoremas. Podríamos decir que la propia forma de la figura constituye el enunciado y la labor de construcción de la misma, paso a paso, usando los axiomas, combinándolos adecuadamente y de acuerdo a las reglas de combinación determinadas por las herramientas, son la verdadera demostración del teorema. Posteriormente estas figuras, en el mejor de los casos y siempre que sean atractivas, podrían integrarse y ser de utilidad dentro una entidad más grande constituida por multitud de figuras. Estas entidades son las teorías. Imaginen ustedes que tienen ante sí un conjunto de axiomas del juego de Lego, que proceden a combinar adecuadamente para construir un pequeño edificio con forma de gasolinera. Acaban ustedes de enunciar y demostrar un auténtico teorema, que integrado en la teoría "Ciudad" tiene una importante función en el sostenimiento de la misma. Otros avanzados jugadores conseguirán demostrar teoremas de gran importancia para la teoría "Ciudad". Por ejemplo el teorema "Ayuntamiento" o teoremas "Hoteles" o incluso teoremas tipo "Autobuses". Algunos teoremas no tedrán gran trascendencia o aplicabilidad dentro de la teoría. Constituirán simples casas de vivienda que posiblemente sean relleno, pero que juntas darán forma a la Ciudad. Y ésta irá creciendo sin parar con teoremas de nueva creación y nuevas funcionalidades. Y así, los matemáticos vamos contribuyendo en mayor o menor medida al desarrollo de diferentes teorías, de la misma forma que los niños mediante el juego de Lego o uno de los antiguos mecanos construyen figuras, a veces que sólo ellos entienden, y las incorporan a sus juegos e historias fruto de su imaginación. Bajo esta perspectiva ¿Quién dice que las matemáticas no son divertidas?
  

  


viernes, 8 de octubre de 2010

Invasión algorítmica

Seguramente el título de esta entrada del blog les hará pensar a muchos de ustedes que la supuesta invasión de algoritmos viene propiciada por la etapa histórica que estamos viviendo. Una etapa que podríamos denominar "era de la comunicación". Una época en la que las máquinas y más concretamente los ordenadores tienen un gran protagonismo. Para algunos de ustedes ese protagonismo quizá les parece excesivo y demasiado dominante. Muchos considerarán el concepto de algoritmo como algo muy propio de los tiempos actuales; una idea moderna que ha irrumpido recientemente en nuestras vidas. Pues bien, la realidad es bien distinta. ¿Qué les parece si les digo que la palabra algoritmo podríamos considerar que comienza a gestarse en  el siglo IX?. ¿Me creerían si les aseguro que ustedes mismos han ejecutado y creado verdaderos algorimos, quizá sin saber lo que significa dicho concepto?. Déjenme demostrárselo. Es muy posible que a lo largo de su vida se hayan visto en la tesitura de tener que explicarle a alguien con pelos y señales y sin ningún tipo de ambigüedad, la forma en la que se debe programar un video o un grabador DVD (dependiendo de la edad que ustedes tengan) para grabar un determinado programa a una hora concreta. Probablemente incluso hayan tenido que escribir el método a la persona en cuestión para que lo tenga a mano siempre que quiera realizar dicha operación. Algo parecido a lo siguiente:
  1. Pulsa el botón de encendido del video ó del DVD.
  2. Selecciona la hora con el botón verde de abajo a la derecha: primero las horas y luego los minutos.
  3. Pulsa la tecla roja de arriba para seleccionar el canal.
  4. -----
  En definitiva, un conjunto de instrucciones que siguiéndolas al pie de la letra y sin pensar, produzcan el resultado deseado; el cual en este caso es la programación del aparato para grabar el programa favorito de la persona que ejecuta las instrucciones.
  No me digan que  nunca han elaborado un plato de cocina siguiendo una receta, o bien le han pasado a un amigo o amiga la de ese plato que a ustedes les sale tan bien y que es un éxito entre los comensales que tienen la fortuna de degustarlo cuando asisten a una comida en su casa. Pues bien, todo esto no son más que algoritmos tan puros como los que puede diseñar un experto programador para resolver un problema de extrema dificultad. 
  Fue en el siglo IX cuando un matemático muslumán denominado Mohammed Ibn Musa abu Djafar Al-Khwarizmi, describió en una de sus obras una serie de métodos para realizar operaciones  matemáticas de forma automática y sin pensar. Sin saberlo estaba poniendo la semilla de los algoritmos muchísimos años antes de que surgiese esta denominación muy ligada a la disciplina de la Informática. Nótese la nada casual similitud de la última parte del nombre de nuestro personaje con el concepto protagonista de este escrito. Y es que, por si aún no lo tenían claro, un algoritmo es cualquier conjunto finito y ordenado de instrucciones cuyo seguimiento al pie de la letra proporcionará la solución de un determinado problema o la realización de un tarea concreta. Así definido, podemos trasladarlo a cualquier ámbito de nuestra vida diaria y por supuesto al ámbito informático, donde muchos lo ubicarían de forma exclusiva. Ahora que ya tienen la idea de lo que es un algoritmo, no pierdan la oportunidad de utilizar esta palabra convenientemente en cualquier contexto y momento procedente: ¿Podrías escribirme el algoritmo para programar adecuadamente mi DVD?; ¿Quieres que te pase el algoritmo correcto para sacar los billetes de avión por internet?... No dejen que este vocablo tan sólo sea utilizado por los informáticos y los matemáticos. La idea que encierra detrás es algo muy antiguo y muy presente en nuestras vidas a lo largo de toda nuestra historia. Incluso me atrevería a decir que los algoritmos, aunque no se denominasen como tales, surgieron en el mismo momento que apareció la comunicación en la raza humana. ¿Siguen pensando que es un concepto moderno?.




                                                                                             


Al-Khwarizmi

martes, 5 de octubre de 2010

Maltrato bancario

Vamos a suponer que abren un establecimiento, digamos un supermercado, justo al lado de su casa. En dicho supermercado se sigue la siguiente política de actuación y trato al cliente:
  1. A pesar de que hay disponibles 5 puestos de caja para realizar los cobros de la mercancía adquirida, nunca están operativos todos. Lo más habitual es que estén abiertos un máximo de 3 y con frecuencia hay colas para pagar .
  2. En el mismo sentido del punto anterior, un buen día le dicen que si el importe de su compra es menor de 300€, debe usted pagar en una especie de puesto automático de cobro. En el supermercado aducen que así no tendrá que esperar colas. La realidad es que ahora usted hace una gran cola en esos puestos de cobro automático, que por otra parte, al ser máquinas, son especialmente difíciles en el trato directo.
  3. Los precios de los productos del supermercado varían, no sólo dependiendo de la cantidad de mercancía que compre, sino también en función de lo que usted sea capaz de negociar directamente con el gerente; a pesar de que en teoría el establecimiento argumenta que los precios son los mismos para todo el mundo que compre la misma cantidad de productos.
  4. De vez en cuando, sin previo aviso, al pasar por caja el supermercado le cobra una cantidad "extra" que por lo visto es para gastos de mantenimiento del establecimiento. Si usted se da cuenta y protesta, es posible que le reembolsen dicha cantidad o bien parte de ella. Si no se da cuenta, nada de la mencionada cantidad le será devuelto.
  5. Aunque usted se haya percatado de la operación descrita en el punto anterior y en consecuencia le hayan devuelto el dinero "sustraido", periódicamente se producirá la misma maniobra en la esperanza de que en alguna ocasión a usted se le "olvide" la correspondiente protesta.
  6. Si usted paga al final de més toda la compra realizada en el mes en curso, los productos son un 15% más caros. Si por el contrario paga una cantidad por adelantado, los productos sólo se abaratan un 0,5%.
  7. Los productos de primera necesidad: huevos, leche, aceite,..., deben adquirirse en los 10 primeros días de cada más en horario de 10 a 11 de la mañana. Si usted quiere evitar esto tendría que abonarlos por adelantado.
  8.  El precio que aparece en los productos no sólo no incluye impuestos sino que ocurren situaciones como la siguiente: en el estante de las legumbres pone que el kilo de alubias cuesta 2€, pero cuando usted va a abonarlas le cobran 10€ porque en dicho precio no está incluido el paquete de cartón en el que vienen, ni los costes de rotulación de las etiquetas, ni el gasto en pegamento para armar el envase, ni demás gastos indirectos. En el estante tan sólo está el precio de "las alubias". Debería usted haberse dado cuenta, ya que en el propio envase y a letra microscópica viene todo esto perfectamente explicado.
  9. Si cualquier mercancía adquirida no es lo que usted pensaba y desea devolverla sin haberla usado o tocado, en el supermercado se la recogen pero le devuelven sólamente el 75% de lo que usted pagó por ella el día anterior.
  10. El supermercado periódicamente se vanagloria de la gran cantidad de dinero que gana. Además, incluso en tiempos de crisis en los que usted apenas tiene dinero para llegar a fin de més, le llegan noticias de que ellos han tenido una ganancia un 20% superior a la del año anterior. Incluso utilizan estas cifras como reclamo publicitario, para que se vea lo "buen" establecimiento que es.
Mi pregunta es: ¿Harían ustedes sus compras en un supermercado con la política de actuación como el que les acabo de describir?; ¿Le ven ustedes algún futuro a un establecimiento con esas características?; ¿Se imaginan que absolutamente todos los supermercados de su ciudad se uniesen y siguiesen esa política?. Pues bien, supongo que ustedes, como yo mismo, también habrán "caido en la cuenta" de que el trato que se nos dispensa a la mayoría en prácticamente la totalidad de las entidades bancarias no dista demasiado del empleado por nuestro supermercado ficticio. Y es que en la actualidad y hablando de bancos, el "interés" lo ponemos nosotros.

viernes, 1 de octubre de 2010

Si no se ve claro aplíquese zoom

Supongamos que se tienen dos vasos. En el vaso A hay vino y en el vaso B hay la misma cantidad de agua. Se coge una cucharada de vino del vaso A y se echa en el vaso B. A continuación se coge una cucharada del vaso B, en el que hay agua y una cucharada de vino, y se echa en el vaso A. Después de estas acciones, en ambos vasos hay de nuevo la misma cantidad de líquido. La pregunta es ¿Hay más agua en el vino (vaso A) o más vino en el agua (vaso B)?.



Este no es un problema especialmente difícil. Después de un tiempo prudencial de razonamiento y tras asignar datos de capacidad a los vasos y a la cuchara, se llegará a la conclusión de que hay la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua. Quizá, dicho así y sin dejarles tiempo a pensar, ustedes no lo vean demasiado claro. Incluso después de explicarles la resolución del problema y de hacer los cálculos  en su presencia, es posible que les pareciese más complicado de lo que en realidad es. Situaciones como ésta, pero con problemas bastante más complejos, me suceden a mi con cierta frecuencia. La cuestión es que muchas veces, trabajando con los datos que aporta un problema o bien con los datos reales que uno mismo pondría  para resolverlo (en el caso que nos ocupa serían las capacidades antes mencionadas), las cuentas que hay que hacer se hacen dificultosas y es muy fácil equivocarse o perder el hilo del método resolutivo. En estas situaciones, una estrategia que muchas veces da resultado es exagerar los datos y llevarlos a un orden de maginitud que podamos manejar con comodidad. En definitiva:  ¡aplicarle zoom al problema!. 

En nuestro caso vamos a huir de vasos de 20 centilitros o cucharas de 15 mililitros y supongamos que en cada uno de los vasos hay 10 litros de líquido. Así pues tenemos 10 litros de vino en el vaso A y 10 de agua en el vaso B. Vamos a considerar ahora que la cuchara también es capaz de recoger 10 litros de líquido de una vez. Entonces, con nuestro espectacular "cucharón", en el primer trasvase habremos cogido todo el vino del vaso A y lo habremos echado al vaso B. Como nuestros vasos son monstruosos, ahora tendremos el vaso A vacío y en el vaso B descansarán 20 litros: 10 de agua y 10 de vino  a partes iguales en armoniosa mezcla.  Procedamos ahora con el segundo trasvase y recogiedo 10 litros del vaso B con la "megacuchara" los pasamos al vaso A. Nótese que de esos 10 litros, la mitad, es decir 5, son de agua y los otros 5 son de vino, ya que la mezcla del vaso B era a parte iguales. En consecuencia, finalmente tendremos 5 litros de agua y 5 de vino en el vaso A y exáctamente lo mismo en el vaso B, pues recordemos que durante todo este proceso simpre hubo 10 litros de agua y 10 litros de vino. Es decir, hay la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua. ¿No resulta esto bastante más claro?. Es que hemos aplicado un buen zoom para que se viese bien.  Por supuesto que esta técnica no es algo que siempre funcione, pero a decir verdad a mi me ha sacado de bastantes atolladeros a la hora de resolver problemas y de explicarlos posteriormente a una audiencia no experta. Ya lo saben, si no lo tienen claro, apliquen zoom hasta la saciedad para una mayor y mejor "resolución."