Vamos con una de las preguntas “estrella” que aparece avanzada la tarde en determinadas y largas sobremesas bien regadas. ¿Cuántas apuestas sencillas tendríamos que hacer para poder tener la combinación ganadora en La Primitiva? Para aquellos que por alguna razón ignoren este juego, diré que consiste en elegir seis números distintos del 1 al 49. El premio gordo se lo reparten aquellos que tras el sorteo hayan acertado los seis números.
Pero no vayamos demasiado rápido y comencemos por algo más sencillo y asequible. Suponed que tenemos un grupo de tres personas y queremos contratar dos de ellas para que nos hagan una pequeña obra en casa. ¿De cuántas formas distintas podremos contratar dicha cuadrilla? Veamos: Si los numeramos del 1 al 3 podremos coger {1, 2}; {1, 3} y {2, 3}. En efecto, no hay más que tres posibilidades. Lo cierto es que como eran tan pocas, hemos podido resolverlo “a ojo”. ¿Qué pasaría si os dijese que son diez personas y tenemos que contratar a tres de ellas? Seguro que ya no resulta tan sencillo calcular el número de cuadrillas distintas que podemos formar ¿verdad? Así pues, conviene buscar un razonamiento que nos permita obtener la fórmula adecuada para aplicar en estas circunstancias. Primero, como hemos hecho siempre en este mini curso de combinatoria, identifiquemos este tipo de situaciones. ¿Os acordáis de los atletas y el pódium que figuran en el segundo capítulo de este cursillo? (en caso de que no lo recordéis conviene que volváis a leer la parte de “permutaciones”. Yo os espero aquí)
¿Ya está? ¡Bien!, entonces continuemos. Fijaos que en las permutaciones P(n,m), la característica identificadora era la necesidad de elegir m elementos de entre un conjunto total de n, donde además influía el orden de la elección. En el caso que nos ocupa también se trata de elegir m = 2 personas de entre un conjunto de n = 3 pero sin importar el orden. Yo elegiré dos personas y me da igual elegir primero la persona 1 y luego la persona 2 que al revés, pues al final lo que tendré es el conjunto formado por el 1 y el 2. ¿Veis la diferencia? Digamos que es como las permutaciones pero sin que influya la ordenación.
Si estuviésemos considerando las permutaciones para nuestra particular situación, aplicaríamos la fórmula
P(3,2) = 3 x 2 = 6
Pero entonces, al tener en cuenta la ordenación, estaríamos contando varias veces cada caso. Por ejemplo, habríamos contado {1,2} y {2,1} como casos distintos. Y lo mismo para el resto. Es decir, estaríamos repitiendo dos veces cada cuadrilla bipersonal. Estas dos veces se corresponden con las dos formas que hay de ordenar dicha cuadrilla. Así pues, para corregir nuestro error, bastaría con dividir el anterior número obtenido por dos y tendríamos el resultado correcto: 6/2 = 3.
Vayamos ahora con un caso más difícil. Suponed que un buen día vamos con la intención de contratar a las tres personas y nos encontramos con que tenemos 10 posibles candidatos (¡maldita “crisis” económica!). ¿Cuántos conjuntos distintos de tres elementos podríamos construir con los 10? Hagámoslo de la misma forma que antes: teniendo en cuenta primero, de manera errónea, el orden de elección y dividiendo luego por el número de veces que repetimos cada conjunto. Tendríamos entonces:
P(10,3) = 10 x 9 x 8 = 720
Igual que antes, en este cálculo hemos contado como diferentes los siguientes casos: {1,2,3}, {2,1,3}, {1,3,2},…Y no cabe duda de que son la misma cuadrilla ¿verdad? Realmente, ¿Cuántas veces hemos contado cada uno de los grupos de tres personas? ¿No se os ocurre? No os preocupéis, ahora os lo digo: Resulta que cada conjunto de tres personas lo hemos contado exactamente seis veces, que son las formas diferentes que tenemos de ordenar esas 3 personas. Os recuerdo que eso era como coger 3 elementos de entre 3 posibles considerando el orden. Es decir:
P(3,3) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6
En consecuencia la respuesta a nuestra pregunta sobre el número de grupos de tres personas que se pueden formar a partir de diez candidatos es:
P(10,3) / P(3,3) = 720 / 6 = 120
Si habéis llegado a esta línea sin desistir y además os habéis enterado, ¡recibid mis felicitaciones! Ahora estáis en condiciones de poder deducir la fórmula general de lo que se denominan Combinaciones de n elementos tomados de m en m, representadas como C(m,n). Os insisto una vez más que son como las Permutaciones pero sin que influya el orden. La forma de calcularlas es tal como lo hemos hecho en los dos supuestos anteriores: primero considerar P(n,m) y después dividir por el número de veces que contamos cada conjunto formado por m elementos, teniendo en cuenta que dicho número de veces corresponde a todas las ordenaciones distintas que se pueden construir con los “dichosos” m elementos. Es decir P(m,m) = m!
Por lo tanto, la formula de las Combinaciones de n elementos tomados de m en m (¿Os he dicho que son como las Permutaciones pero sin tener en cuenta el orden?) es la siguiente
P(n,m) = n x (n-1) x (n-2) x … x (n-m+1)
C(n,m) = -----------------------------------------------------------------------
P(m,m) = n!
Respondamos ahora a la cuestión de la Lotería Primitiva. Tenemos 49 números y una apuesta consiste en elegir 6 de ellos. Esto es C(49,6). Es decir, aplicando la fórmula:
49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44
-----------------------------------------
6!
